Cho x, y là hai số thực thỏa x > y và xy = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Với $x>y, xy=1$, ta có

$P=\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{{(x-y)}^2+2xy}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}$

Vì $x>y\Rightarrow x-y>0; \frac{2}{x-y}>0$ và xy = 1.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $x-y; \frac{2}{x-y}$, ta có

$x-y+\frac{2}{x-y}\ge 2\sqrt{\frac{2(x-y)}{x-y}}=2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

Suy ra $\min P=2\sqrt{2}$.

Dấu đẳng thức xảy ra $\iff x-y=\frac{2}{x-y}\iff {(x-y)}^2=2\iff x-y=\sqrt{2}\iff x=y+\sqrt{2}$.

Mà $xy=1\Rightarrow (y+\sqrt{2})y=1\iff y^2+\sqrt{2}y=1\iff y^2+\sqrt{2}y-1=0\iff \left[\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\\ y=\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.$

Vậy $\min P=2\sqrt{2}$ tại $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\\ y=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\end{array}\right.$hoặc $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\\ y=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}.\end{array}\right.$