Cho hai số thực không âm a, b thỏa mãn a^2 + b^2 = 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Ta có $a^3+b^3+4=\left(a^3+b^3+1\right)+3\ge 3ab+3$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.

Vì ab + 1 > 0 nên $M=\frac{a^3+b^3+4}{ab+1}\ge \frac{3\left(ab+1\right)}{ab+1}=3$.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là 3 đạt được khi a = b = 1.

+) Vì $a^2+b^2=2$ nên $a\le \sqrt{2},b\le \sqrt{2}$. Suy ra $a^3+b^3+4\le \sqrt{2}\left(a^2+b^2\right)+4=2\sqrt{2}+4$.

Mặt khác $\frac{1}{ab+1}\le 1\text{ do }ab+1\ge 1$. Suy ra $M=\frac{a^3+b^3+4}{ab+1}\le 2\sqrt{2}+4$.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=2\\ ab=0\end{array}\right.\iff \left(a;b\right)=\left(0;\sqrt{2}\right)\vee \left(a;b\right)=\left(\sqrt{2};0\right)$.