Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + 2y + 3z = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .

Đặt $a=x;b=2y;c=3z$, ta được: $a,b,c>0;a+b+c=2$.

Khi đó: $S=\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+2a}}+\sqrt{\frac{ac}{ac+2b}}$ .

Xét $\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}=\sqrt{\frac{ab}{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{a+c}=\frac{b}{b+c}$.

Tương tự ta có: $\sqrt{\frac{bc}{bc+2a}}\le \frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}\right);\sqrt{\frac{ac}{ac+2b}}\le \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{c}{c+b}\right)$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{b}{b+a}=\frac{c}{c+a}$; $\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+b}$.

Cộng các vế ta được: $S\le \frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{a+c}{a+c}\right)=\frac{3}{2}$.

Vậy giá trị lớn nhất của S bằng $\frac{3}{2}$ khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{2}{3}$ hay giá trị lớn nhất của S bằng $\frac{3}{2}$ khi và chỉ khi $x=\frac{2}{3};y=\frac{1}{3};z=\frac{2}{9}$.