Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 2019. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta có:

$\begin{array}{l}2a^2+ab+2b^2=\frac{5}{4}{\left(a+b\right)}^2+\frac{3}{4}{\left(a-b\right)}^2\ge \frac{5}{4}{\left(a+b\right)}^2\\ \Rightarrow \sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge \frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\end{array}$

Tương tự:

$\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge \frac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\text{ ; }\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge \frac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)$

$\begin{array}{l}\Rightarrow P\ge \frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)=\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\\ \Rightarrow P\ge 2019\sqrt{5}\end{array}$

Dấu “=” xảy ra $\iff a=b=c=\frac{2019}{3}=673$

Vậy $\min P=2019\sqrt{5}\iff a=b=c=673$