Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Áp dụng bất đẳng thức ở phần a) ta có:

$$\begin{gathered} \frac{9ab}{a+3b+2c}\le \frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}+\frac{a}{2}; \\ \frac{9bc}{b+3c+2a}\le \frac{bc}{a+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{b}{2}; \\ \frac{9ca}{c+3a+2b}\le \frac{ca}{b+a}+\frac{ca}{b+c}+\frac{c}{2} \end{gathered}$$ 

Cộng theo các vế của ba bất đẳng thức trên ta được

$$\begin{gathered} 9A\le \frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}+\frac{a}{2}+\frac{bc}{a+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{b}{2}+\frac{ca}{b+a}+\frac{ca}{b+c}+\frac{c}{2} \\ \iff 9A\le \left(\frac{ab}{c+a}+\frac{bc}{a+c}\right)+\left(\frac{ab}{c+b}+\frac{ca}{b+c}\right)+\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{b+a}\right)+\frac{a+b+c}{2} \\ \iff 9A\le \frac{3}{2}.\left(a+b+c\right)=9\Rightarrow A\le 1. \end{gathered}$$

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 2

Vậy $MaxA=1\iff a=b=c=2.$.