Chứng minh rằng parabol (P): 1/2x^2 luôn cắt đường thẳng (d): y = (m - 1)x + 1/2m^2 + m tại hai điểm

* Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của P và d là:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}{x}^2=\left(m-1\right)x+\frac{1}{2}{m}^2+m \\ \iff \frac{1}{2}{x}^2-\left(m-1\right)x-\frac{1}{2}{m}^2-m=0\left(1\right) \end{gathered}$$

Ta có $\Delta ={\left[-\left(m-1\right)\right]}^2-4.\frac{1}{2}.\left(-\frac{1}{2}{m}^2-m\right)$

$$\begin{gathered} \Delta =m^2-2m+1+m^2+2m \\ \Delta =2m^2+1>0 \end{gathered}$$

với mọi m

Suy ra phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biết với mọi m

Nên P luôn cắt d tại hai điểm phân biệt A và B

Theo vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2\left(m-1\right)\\ x_1.x_2=-m^2-2m\end{array}\right.$

Theo đề ta có: $x_1^2+x_2^2+6x_1{x}_2>2019$

$$\begin{gathered} \iff {\left(x_1+x_2\right)}^2+4x_1{x}_2-2019>0 \\ \iff {\left[2\left(m-1\right)\right]}^2+4\left(-m^2-2m\right)-2019>0 \\ \iff 4m^2-8m+4-4m^2-8m-2019>0 \\ \iff -16m-2015>0 \\ \iff -16m>2015 \\ \iff m<\frac{2015}{16} \end{gathered}$$