Cho hai biểu thức: A = x-4/ căn bậc hai x -1 (với x lớn hơn bằng 0, x khác 1 ) và B = (căn bậc hai x -1/ căn bậc hai x -2

Với $x\ge 0,x\ne 1$ ta có:

$$\begin{gathered} B=\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\right):\frac{3}{\sqrt{x}+1}=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\frac{\sqrt{x}+1}{3} \\ =\frac{x-1-x+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\frac{\sqrt{x}+1}{3}=\frac{3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\frac{\sqrt{x}+1}{3}=\frac{1}{\sqrt{x}-2} \\ \Rightarrow P=\frac{18}{A.B}=\frac{18\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}+2}=18-\frac{54}{\sqrt{x}+2} \end{gathered}$$

Vì $x\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}+2\ge 2\Rightarrow \frac{54}{\sqrt{x}+2}\le \frac{54}{2}=27$ nên $P=18-\frac{54}{\sqrt{x}+2}\ge 18-27=-9$

Hay $P\ge -9,\forall x\ge 0$ 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0