Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = (1/ 1- căn bậc hai x + x+2/ x căn bậc hai x + 1 + căn bậc hai x/ x+ căn bậc hai x + 1)

Với $x\ge 0,x\ne 1$ ta có:

$$\begin{gathered} A=\left(\frac{1}{1-\sqrt{x}}+\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{3} \\ =\frac{-\left(x+\sqrt{x}+1\right)+x+2+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}.\frac{3}{\sqrt{x}-1} \\ =\frac{3{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2\left(x+\sqrt{x}+1\right)}=\frac{3}{x+\sqrt{x}+1} \end{gathered}$$

Vậy $A=\frac{3}{x+\sqrt{x}+1}$ với $x\ge 0,x\ne 1$

A đạt giá trị lớn nhất $\iff x+\sqrt{x}+1$ đạt giá trị nhỏ nhất

Vì $x\ge 0$ nên $x+\sqrt{x}+1\ge 1\Rightarrow A=\frac{3}{x+\sqrt{x}+1}\le 3$ 

Đẳng thức xảy ra <=> x = 0. Vậy maxA = 3 khi x = 0.