Cho hai biểu thức P = x +3/ căn bậc hai x -2 và Q = căn bậc hai x -1/ căn bậc hai x+2 + 5/ căn bậc hai x -/ x-4 với

Với $x>0,x\ne 4$ ta có:

$$\begin{gathered} Q=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}-2}{x-4}=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)+5\sqrt{x}-2}{x-4}=\frac{x-3\sqrt{x}+2+5\sqrt{x}-2}{x-4} \\ =\frac{x+2\sqrt{x}}{x-4}=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} \end{gathered}$$

$\Rightarrow \frac{P}{Q}=\frac{x+3}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}\ge 2\sqrt{3}$  (Do bất đẳng thức Cô-si).

Đẳng thức xảy ra khi $\sqrt{x}=\frac{3}{\sqrt{x}}\iff x=3$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\frac{P}{Q}$ là $2\sqrt{3}$ khi x = 3.