Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: d1: y = -mx + m + 1, d2: y = 1/mx -1 - 5.m

* Hướng dẫn giải

Giả sử $M\left(x_M;y_M\right)$ là điểm cố định mà đường thẳng $\left(d_1\right)$ luôn đi qua. Ta có:

$y_M=-m{x}_M+m+1$ với mọi m $\iff m\left(1-x_M\right)+\left(1-y_M\right)=0$ với mọi m

$\iff \left\{\begin{array}{l}1-x_M=0\\ 1-y_M=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_M=1\\ y_M=1\end{array}\right.$

Vậy đường thẳng $\left(d_1\right)$ luôn đi qua điểm $M\left(1;1\right)$ cố định.

Giả sử $N\left(x_0;y_0\right)$ là giao điểm của $\left(d_1\right)$ và $\left(d_2\right)$. Khi đó:

$\left\{\begin{array}{l}{y}_0=-m{x}_0+m+1\\ y_0=\frac{1}{m}{x}_0-1-\frac{5}{m}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{y}_0-1=m\left(1-x_0\right)\left(1\right)\\ y_0+1=\frac{1}{m}\left(x_0-5\right)\left(2\right)\end{array}\right.$

Nhân theo vế của (1) và (2) ta được:

$\left(y_0+1\right)\left(y_0-1\right)=\left(1-x_0\right)\left(x_0-5\right)\iff y_0^2-1=-x_0^2+6x_0-5\iff {\left(x_0-3\right)}^2+y_0^2=5$

Giả sử I(3;0) thuộc mặt phẳng tọa độ. Ta có $IN=\sqrt{{\left(x_0-3\right)}^2+y_0^2}=\sqrt{5}$ không đổi.

Vậy N thuộc đường tròn tâm I bán kính $\sqrt{5}$.