Cho biểu thức:      \(P = \left( {\frac{{x - 4}}{{x - 3\sqrt x  + 2}} + 1} \right):\frac{1}{{2x - 3\sqrt x  + 1}}\)&nbs

* Hướng dẫn giải

a) 

\(\begin{array}{l}
P = \left( {\frac{{x - 4}}{{x - 3\sqrt x  + 2}} + 1} \right):\frac{1}{{2x - 3\sqrt x  + 1}}\\
{\rm{  }} = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} + 1} \right] \cdot \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {2\sqrt x  - 1} \right)\\
{\rm{  }} = \left( {\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}} + 1} \right) \cdot \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {2\sqrt x  - 1} \right)\\
{\rm{  }} = \left( {\sqrt x  + 2 + \sqrt x  - 1} \right) \cdot \left( {2\sqrt x  - 1} \right)\\
{\rm{  }} = \left( {2\sqrt x  + 1} \right) \cdot \left( {2\sqrt x  - 1} \right)\\
{\rm{  }} = 4x - 1
\end{array}\)

Vậy \(P = 4x - 1\) với \(x \ge 0;x \ne \frac{1}{4};x \ne 1;x \ne 4\).

b) Với \(x \ge 0;x \ne \frac{1}{4};x \ne 1;x \ne 4\), ta có:

\(P = 2019 \Leftrightarrow 4x - 1 = 2019 \Leftrightarrow x = 505\) (thỏa mãn ĐK)

Vậy với x = 505 thì P = 2019.

c) Xét \(T = P + \frac{{10}}{x} = 4x - 1 + \frac{{10}}{x} = \frac{{2x}}{5} + \frac{{10}}{x} + \frac{{18x}}{5} - 1\)

Áp dụng BĐT Côsi, ta có: \(\frac{{2x}}{5} + \frac{{10}}{x} \ge 2\sqrt {\frac{{2x}}{5} \cdot \frac{{10}}{x}}  = 4\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{{2x}}{5} = \frac{{10}}{x} \Leftrightarrow x = 5{\rm{ (do }}x \ge 0)\)

Lại có: \(\frac{{18x}}{5} \ge 18\) (vì \(x \ge 5\))

\( \Rightarrow T \ge 4 + 18 - 1 = 21\)

Vậy \(\min T = 21\) tại x = 5.