Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn: \(12x + 10y + 15z \le 60\).

* Hướng dẫn giải

Xét \(5T - \left( {12x + 10y + 15z} \right)\)

\(\begin{array}{l}
 = 5{x^2} + 5{y^2} + 5{z^2} - 20x - 20y - 5z - \left( {12x + 10y + 15z} \right)\\
 = 5{x^2} + 5{y^2} + 5{z^2} - 32x - 30y - 20z\\
 = 5x\left( {x - 6,4} \right) + 5y\left( {y - 6} \right) + 5z\left( {z - 4} \right)
\end{array}\)

Vì \(x,y,z \ge 0\) nên từ điều kiện \(12x + 10y + 15z \le 60\), suy ra 

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
12x \le 60\\
10y \le 60\\
15z \le 60
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 5\\
y \le 6\\
z \le 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 5 \le 0\\
y - 6 \le 0\\
z - 4 \le 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x\left( {x - 6,4} \right) \le 0\\
y\left( {y - 6} \right) \le 0\\
z\left( {z - 4} \right) \le 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow 5x\left( {x - 6,4} \right) + 5y\left( {y - 6} \right) + 5z\left( {x - 4} \right) \le 0\\
 \Rightarrow 5T - \left( {12x + 10y + 15z} \right) \le 0\\
 \Rightarrow 5T \le 12x + 10y + 15z \le 60\\
 \Rightarrow T \le 12
\end{array}\)

Dấu "=" xảy ra 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x\left( {x - 6,4} \right) = y\left( {y - 6} \right) = z\left( {z - 4} \right) = 0\\
12x + 10y + 15z = 60
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y = 0,z=4\\
x = z = 0,y = 6
\end{array} \right.\)

Vậy Max T = 12 khi \(\left[ \begin{array}{l}
x = y = 0,z = 4\\
x = z = 0,y = 6
\end{array} \right.\)