Cho biểu thức: M = \(\left( {\frac{{x + \sqrt x }}{{x\sqrt x  + x + \sqrt x  + 1}} + \frac{1}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\

* Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: \(x \ge 0,x \ne 1\)

Ta có:

\({\frac{{x + \sqrt x }}{{x\sqrt x  + x + \sqrt x  + 1}} + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{\sqrt x .\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{x + 1}}}\)

\(\frac{1}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{x\sqrt x  - x + \sqrt x  - 1}} = \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(\frac{{x + 1 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{x + 1}}\)

Do đó: M = \(\frac{{\sqrt x  + 1}}{{x + 1}}:\frac{{\sqrt x  - 1}}{{x + 1}} = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\)

Vậy với \(x \ge 0,x \ne 1\) ta có: M = \(\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\)

2. Ta có: \({x^3} = 20 + 14\sqrt 2  + 20 - 14\sqrt 2  + 3.x.\sqrt[3]{{{{20}^2} - {{(14\sqrt 2 )}^2}}}\)

\( \Leftrightarrow {x^3} = 40 + 3.x.2 \Leftrightarrow {x^3} - 6x - 40 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} + 4x + 10} \right) = 0\)

Thay x = 4 vào M ta được: M =    \(\frac{{\sqrt 4  + 1}}{{\sqrt 4  - 1}} = 3\)      

Vậy khi x = \(\sqrt[3]{{20 + 14\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{20 - 14\sqrt 2 }}\) thì M = 3.