Cho các số dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a + b + c = 2\) và\(\sqrt {ab + 2c}  + \sqrt {bc + 2a}  + \sqrt {ca + 2b}  = 4\

* Hướng dẫn giải

Do \(a, b, c>0\) và \(a+b+c=2\) nên \(0 < a,b,c < 2\)

Ta có \(2\sqrt {ab + 2c}  = 2\sqrt {ab + 2\left( {2 - a - b} \right)}  = 2\sqrt {\left( {2 - a} \right)\left( {2 - b} \right)}  \le 4 - a - b\)

Tương tự, \(2\sqrt {bc + 2a}  \le 4 - b - c;2\sqrt {ca + 2b}  \le 4 - c - a\)

Nên \(2\left( {\sqrt {ab + 2c}  + \sqrt {bc + 2a}  + \sqrt {ca + 2b} } \right) = 12 - 2\left( {a + b + c} \right) = 8\)

Do đó từ giả thiết ta suy ra dấu bằng xảy ra ở các bất đẳng thức trên:

Nghĩa là \(a = b = c = \frac{2}{3}\). Như vậy \(P = 2a + 3b + 4c = 6\)