Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn \(2x{\rm{ }} + 2{\rm{ }}y\; \le 1\).

* Hướng dẫn giải

\(2x + 2y \le 1 \Leftrightarrow x + y \le \frac{1}{2}\)

Ta có \(P = xy + \frac{1}{{256xy}} + \frac{{255}}{{256xy}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho hai số dương ta có :

\(xy + \frac{1}{{256xy}} \ge 2\sqrt {xy.\frac{1}{{256xy}}}  \Leftrightarrow xy + \frac{1}{{256xy}} \ge \frac{1}{8}\) (1)

Dấu "=" xảy ra khi xy = \(\frac{1}{4}\)

Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai sô số dương x và y ta có :

\(x + y \ge 2\sqrt {xy} \)

mà \(x + y \le \frac{1}{2}\) nên \(2\sqrt {xy}  \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow xy \le \frac{1}{{16}} \Leftrightarrow \frac{{255}}{{256xy}} \ge \frac{{255}}{{16}}\)  (2)

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y\\
x + y = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = \(\frac{1}{4}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là \(\frac{{257}}{{16}}\) đạt được khi x = y = \(\frac{1}{4}\)