Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\sqrt {1 - x}  + \sqrt {1 + x}  + 2\sqrt x \)

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(0 \le x \le 1\)

Ta có: \(P = \sqrt {1 - x}  + \sqrt {x + 1}  + 2\sqrt x  = (\sqrt {1 - x}  + \sqrt x ) + (\sqrt {1 + x}  + \sqrt x )\)

Đặt \(A = \sqrt {1 - x}  + \sqrt x \)

Ta có: \({A^2} = 1 + 2\sqrt x .\sqrt {1 - x}  \ge 1\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x .\sqrt {1 - x}  = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{x = 1}
\end{array}} \right.\)

Đặt \(B = \sqrt {1 + x}  + \sqrt x  \ge 1 + 0 = 1\)

Dấu bằng xảy ra khi x = 0

Do đó \(P = A + B \ge 1 + 1 = 2\)

Dấu “=” xảy ra khi x = 0

Giá trị nhỏ nhất là P = 2 khi x = 0