Cho \(x,\,y\) là các số thực thỏa mãn điều kiện \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\).

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
P = \,\,\left( {3 - x} \right)\left( {3 - y} \right) = 9 - 3\left( {x + y} \right) + xy = \frac{{18 - 6\left( {x + y} \right) + 2xy}}{2}\\
\,\,\,\,\, = \,\frac{{17 + \left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 6\left( {x + y} \right) + 2xy}}{2} = \frac{{8 + {{\left( {x + y} \right)}^2} - 6\left( {x + y} \right) + 9}}{2}\\
\,\,\,\,\, = \,\frac{{{{\left( {x + y - 3} \right)}^2}}}{2} + 4.
\end{array}\)

Từ \({x^2} + {y^2} = 1\) chỉ ra được \({\left( {x + y} \right)^2} \le 2 \Rightarrow \, - \sqrt 2 \, \le x + y \le \sqrt 2 ;\)

Suy ra \( - \sqrt 2 \, - 3 \le x + y - 3 \le \sqrt 2  - 3 < 0.\)

\(P = \,\frac{{{{\left( {x + y - 3} \right)}^2}}}{2} + 4 \ge \frac{{{{\left( {\sqrt 2  - 3} \right)}^2}}}{2} + 4 = \frac{{19 - 6\sqrt 2 }}{2} \cdot \)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{{19 - 6\sqrt 2 }}{2}\) khi \(x = y = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \)