Chứng minh số căn2 là số vô tỉ

* Hướng dẫn giải

Giả sử $\sqrt{2}$ không phải là số vô tỉ. Khi đó tồn tại các số nguyên a và b sao cho $\sqrt{2}$ = a/b với b > 0. Hai số a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Ta có: ($\sqrt{2}$ )2 = ${\left(a/b\right)}^2$ hay $a^2=2b^2$ (1)

Kết quả trên chứng tỏ a là số chẵn, nghĩa là ta có a = 2c với c là số nguyên.

Thay a = 2c vào (1) ta được: ${\left(2c\right)}^2=2b^2$ hay $b^2=2c^2$

Kết quả trên chứng tỏ b phải là số chẵn.

Hai số a và b đều là số chẵn, trái với giả thiết a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Vậy $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.