Chứng minh: Số căn3 là số vô tỉ

* Hướng dẫn giải

Giả sử $\sqrt{3}$ không phải là số vô tỉ. Khi đó tồn tại các số nguyên a và b sao cho $\sqrt{3}$ = a/b với b > 0. Hai số a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Ta có: ${\left(\sqrt{3}\right)}^2={\left(a/b\right)}^2$ hay $a^2=3b^2$ (1)

Kết quả trên chứng tỏ a chia hết cho 3, nghĩa là ta có a = 3c với c là số nguyên.

Thay a = 3c vào (1) ta được: ${\left(3c\right)}^2=3b^2$ hay $b^2=3c^2$

Kết quả trên chứng tỏ b chia hết cho 3.

Hai số a và b đều chia hết cho 3, trái với giả thiết a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Vậy $\sqrt{3}$ là số vô tỉ.