Tìm số x nguyên để biểu thức ( cănx + 1 )/( cănx - 3 ) nhận giá trị nguyên

* Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}$

Để 1 + $\frac{4}{\sqrt{x}-3}$ nhận giá trị nguyên thì $\frac{4}{\sqrt{x}-3}$ phải có giá trị nguyên. Vì x nguyên nên √x là số nguyên hoặc số vô tỉ.

* Nếu $\sqrt{x}$ là số vô tỉ thì $\sqrt{x}$ - 3 là số vô tỉ nên $\frac{4}{\sqrt{x}-3}$ không có giá trị nguyên. Trường hợp này không có giá trị nào của $\sqrt{x}$ để biểu thức nhận giá trị nguyên.

* Nếu $\sqrt{x}$ là số nguyên thì $\sqrt{x}$ - 3 là số nguyên. Vậy để  nguyên thì $\sqrt{x}$ - 3 phải là ước của 4.

Đồng thời x $\ge$ 0 suy ra: $\sqrt{x}$ $\ge$ 0

Ta có: W(4) = {-4; -2; -1; 1; 2; 4}

Suy ra: x - 3 = -4 ⇒ x = -1 (loại)

$\sqrt{x}$ - 3 = -2 ⇒ $\sqrt{x}$ = 1 ⇒ x = 1

$\sqrt{x}$ - 3 = -1 ⇒ $\sqrt{x}$ = 2 ⇒ x = 4

$\sqrt{x}$ - 3 = 1 ⇒ $\sqrt{x}$ = 4 ⇒ x = 16

$\sqrt{x}$ - 3 = 2 ⇒ $\sqrt{x}$ = 5 ⇒ x = 25

$\sqrt{x}$ - 3 = 4 ⇒ $\sqrt{x}$ = 7 ⇒ x = 49

Vậy với x ∈ {1; 4; 16; 25; 49} thì biểu thức $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$ nhận giá trị nguyên.