Tính độ dài dây AC theo R.

* Hướng dẫn giải

Xét tam giác OAB có : \(O{A^2} + O{B^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2} = A{B^2}\)

\(\Rightarrow \Delta OAB\) vuông tại O (định lí Pytago đảo)

\( \Rightarrow \widehat {AOB} = {90^0} = sdcung\,AB\) (số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn).

Mà \(sdcung\,BC = {30^0} \Rightarrow \widehat {BOC} = {30^0}\) (số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn).

\(\Rightarrow \widehat {AOC} = \widehat {AOB} + \widehat {BOC} = {90^0} + {30^0} = {120^0}\).

Gọi H là trung điểm của AC ta có \(OH \bot AC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Xét tam giác OAC có OA = OC = R \(\Rightarrow \Delta OAC\) cân tại O ⇒ OH là đường cao đồng thời là phân giác.

\(\Rightarrow \widehat {AOH} = \dfrac{1}{2}\widehat {AOC} = \dfrac{1}{2}{.120^0} = {60^0}\)

Xét tam giác vuông OAH có : 

\(AH = OA.\sin {60^0} = R.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\(\Rightarrow AC = 2AH = 2.R.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = R\sqrt 3 \).