Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức \(A=\frac{2 \sqrt{x}-8}{\sqrt{x}-1}\) đạt giá trị nguyên

* Hướng dẫn giải

Ta có

\(A=\frac{2 \sqrt{x}-8}{\sqrt{x}-1}=\frac{2(\sqrt{x}-1)-6}{\sqrt{x}-1}=\frac{2(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}-1}-\frac{6}{\sqrt{x}-1}=2-\frac{6}{\sqrt{x}-1}\)

A nhận giá trị nguyên khi \(\frac{6}{\sqrt{x}-1}\) nguyên hay \(6:(\sqrt{x}-1) \text { hay }(\sqrt{x}-1) \mid 6\)

Các ước của 6 là: −1; 1; −2; 2; −3; 3; −6; 6

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l} \sqrt{x}-1=1 \Leftrightarrow x=4 \\ \sqrt{x}-1=-1 \Leftrightarrow x=0 \\ \sqrt{x}-1=2 \Leftrightarrow x=9 \\ \sqrt{x}-1=-2 \Leftrightarrow x \in \emptyset \\ \sqrt{x}-1=3 \Leftrightarrow x=16 \\ \sqrt{x}-1=-3 \Leftrightarrow x \in \emptyset \\ \sqrt{x}-1=6 \Leftrightarrow x=49 \\ \sqrt{x}-1=-6 \Leftrightarrow x \in \emptyset \end{array}\)

Vậy \(x \in\{4 ; 0 ; 9 ; 16 ; 49\} \text { thì } A=\frac{2 \sqrt{x}-8}{\sqrt{x}-1}\) nhận giá trị nguyên.