Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \( P = \frac{3}{2}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 2{\left( {\frac{{{x_1} - {x_2}}}{2} + \frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_2}}}} \right)^2}\)

* Hướng dẫn giải

Ta có \(:Δ=(3a−1)2+16>0\) ⇒Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.  Theo định lý Viet thì: \( {x_1} + {x_2} = \frac{{3a - 1}}{2};{x_1}{x_2} = - 1\) Ta có:

\(\begin{array}{l} P = \frac{3}{2}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 2{\left[ {\frac{{{x_1}{x_2}\left( {{x_1} - {x_2}} \right) - 2\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{2{x_1}{x_2}}}} \right]^2} = 6{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\\ = 6\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right] = 6\left[ {\frac{{{{\left( {3a - 1} \right)}^2}}}{4} + 4} \right] \ge 24 \end{array}\)

Đẳng thức xảy ra khi \( 3a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của  P  là 24.