Biểu thứ \( P = {x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 6\) có giá trị nhỏ nhất là:

* Hướng dẫn giải

Ta có \( {\rm{\Delta '}} = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} + 2} \right) = 2m - 1\)

Để phương trình có hai nghiệm \( \Leftrightarrow {\rm{\Delta '}} \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{2}\) (*)

Theo định lý Viet ta có: \(\begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2m + 2\\ {x_1}{x_2} = {m^2} + 2 \end{array}\) Ta có 

\(\begin{array}{l} P = {x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 6 = {m^2} + 2 - 2\left( {2m + 2} \right) - 6\\ = {m^2} - 4m - 8 = {\left( {m - 2} \right)^2} - 12 \ge - 12 \end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m=2 thỏa mãn điều kiện (*).

Vậy với m=2 thì biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất bằng −12