Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất \(\left\{ \begin{array}{l} x + y = 8\\ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = m \end{array} \right.\)

* Hướng dẫn giải

Điều kiện x≠0;y≠0

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x + y = 8\\ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = m \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} y = 8 - x\\ {x^2} + {y^2} = mxy \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} y = 8 - x\\ {x^2} + {(8 - x)^2} = mx(8 - x) \end{array} \right.\\ \to \left\{ \begin{array}{l} y = 8 - x\\ (m + 2){x^2} - 8x(m + 2) + 64 = 0 \end{array} \right. \end{array}\)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ⇔ phương trình

\( (m + 2){x^2} - 8x(m + 2) + 64 = 0\)

(I) có nghiệm duy nhất thỏa mãn x≠0; x≠8 (y≠0)

Nếu m=−2⇒(I)⇔64=0 (vô lí) ⇒ hệ phương trình vô nghiệm với m=−2 

Nếu m≠−2⇒(I) là phương trình bậc hai 1 ẩn,để phương trình này có nghiệm duy nhất thì

\(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow 16{(m + 2)^2} - 64(m + 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m + 2 = 0\\ m + 2 = 4 \end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l} m = - 2\\ m = 2 \end{array} \right.\)

Do m≠−2 nên chỉ có m=2 là thỏa mãn để phương trình (I) có nghiệm duy nhất 

Nghiệm đó là x₀=4 (thỏa mãn x≠0;x≠8)

 Với x=4 thay vào ta tìm được y=4
Vậy m=2 là giá trị cần tìm.