Tìm vị trí của M để tứ giác ABDC có chu vi nhỏ nhất.

* Hướng dẫn giải

Xét tứ giác ABDC có: AC//BD⇒ABDC là hình thang

Vì hai tiếp tuyến CD và Ax cắt nhau tại C, hai tiếp tuyến DC  và By  cắt nhau tại D  nên AC=CM;BD=BM  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Chu vi hình thang  ABDC  là 

\(\begin{array}{l} {C_{ABDC}} = AC + AB + BD + CD = CM + AB + DM + CD = AB + 2CD\\ \Rightarrow {C_{ABDC}}_{\min }{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\rm{khi}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} C{D_{\min }} \Rightarrow CD = AB \Rightarrow CD//AB \end{array}\)

Mà \( OM\: \bot CD \Rightarrow OM\: \bot AB \Rightarrow {C_{ABDC\min }} = AB + 2AB = 3AB\)

Vậy chu vi nhỏ nhất của hình thang ABDC là 3AB  khi OM⊥AB.