Cho hình chữ nhật ABCD quay xung quanh cạnh AB, ta được một hình trụ. Tính thể tích của hình trụ này.

* Hướng dẫn giải

Gọi chiều dài AB = x và chiều rộng AD = y ta có:

Diện tích hình chữ nhật là

\(2{a^2} \Rightarrow xy = 2{a^2}\).

Chu vi hình chữ nhật là 6a

\(\Rightarrow 2\left( {x + y} \right) = 6a \Leftrightarrow x + y = 3a\).

Khi đó x, y là nghiệm của phương trình \({X^2} - 3aX + 2{a^2} = 0\) (định lí Vi-ét đảo).

Ta có:

\(\Delta = {\left( {3a} \right)^2} - 4.2{a^2} = {a^2} \\\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{X_1} = \dfrac{{3a + a}}{2} = 2a\\{X_2} = \dfrac{{3a - a}}{2} = a\end{array} \right.\).

Do \(AB > AD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = 2a\\AD = a\end{array} \right.\).

Quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB ta được hình trụ có chiều cao h = AB = 2a, bán kính đáy R = AD = a.

Vậy thể tích của khối trụ đó là 

\(V = \pi {R^2}h = \pi .{a^2}.2a = 2\pi {a^3}\)