Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O) bán kính bằng a. Biết rằng AC ⊥ BD.

* Hướng dẫn giải

Vẽ  đường kính CE của đường tròn (O).

Ta có \(\widehat {EAC} = {90^0},\widehat {EDC} = {90^0}\) 

(góc nội tiếp chắn đường kính ECEC ).

Từ đó ta có AE⊥AC. Mặt khác theo giả thiết AC⊥BD.

Kéo theo AE//BD. Vậy AEDB là hình thang.

Do hình thang AEDB nội tiếp (O) nên nói phải là hình thang cân.

Kéo theo AB = DE (các cạnh bên hình thang cân).

Từ đó ta cóAB² +CD² = DE² + DC² = EC²=(2a)² = 4a² (do ΔEDC vuông tại D).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho(AB²,BD²) ta có AB² + BD² ≥ 2AB.CD

Kéo theo(AB+CD) ² ≤ 2(4a²) = 8a²

⇒ AB + CD ≤ 2√2a.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD

Xét tam giác ΔABI, ΔDCI có AB = CD, \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AD), \(\widehat {BAC} = \widehat {DCB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung BC).

Do đó ΔABI = ΔDCI (g.c.g.)

Kéo theo AI = ID, IB = IC. Suy ra AC = AI + IC = ID + IB = BD.