Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O, BD ) là đường phân giác của góc góc ABC. Khi đó đường thẳng đối xứng với đường thẳng BF qua đường thẳng BD cắt AC tại N thì:

* Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của AC. Do E là điểm chính giữa cung AC nê nEM⊥AC.

Do đó EM đi qua tâm của đường tròn (O). Giả sử rằng G=DF∩(O)

Do \(\widehat {DFE} = {90^0},\) nên \(\widehat {GEF} = {90^0},\) hay GE là đường kính của (O). Suy ra G,M,E thẳng hàng.

Vì vậy \(\widehat {GBE} = {90^0}\), mà \(\widehat {GMD} = {90^0}\) Kéo theo tứ giác BDMG là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính GD.

Vì vậy \(\widehat {MBD} = \widehat {DGM} = \widehat {FGE}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)\) (cùng chắn cung DM)

Lại có tứ giác BFEG là tứ giác nội tiếp nên \( \widehat {FBE} = \widehat {FGE}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right){\mkern 1mu} \)(cùng chắn cung FE).

Từ (1) và (2) ta suy ra \( \widehat {MBD} = \widehat {FBE}.\)

Do đó BF và BM đối xứng nhau qua BD.

Vì vậy M≡N hay N là trung điểm của AC nên AN=NC.