Có một hình nón có bán kính đáy bằng 2 cm, chiều cao bằng đường kính một hình cầu. Diện tích toàn phần hình nón bằng diện tích mặt cầu. Tính chiều cao hình nón.

* Hướng dẫn giải

Gọi h là chiều cao hình nón (h > 0). Đường sinh của hình nón bằng \(l = \sqrt {{h^2} + 4} \)
Diện tích toàn phần của hình nón \({S_{tp}} = \pi 2.\sqrt {{h^2} + 4} + \pi {.2^2} = \pi (2\sqrt {{h^2} + 4} + 4)c{m^2}\)

Vì chiều cao hình nón bằng đường kính hình cầu nên bán kính hình cầu là h/2(cm)

Diện tích mặt cầu là \(S = 4\pi {\left( {\frac{h}{2}} \right)^2} = \pi {h^2}\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l} \pi (2\sqrt {{h^2} + 4} + 4) = \pi {h^2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{h^2} + 4} + 4 = {h^2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{h^2} + 4} = {h^2} - 4(h > 2)\\ \Rightarrow 4({h^2} + 4) = {h^4} - 8{h^2} + 16\\ \Leftrightarrow {h^4} - 12{h^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {h^2} = 0\\ {h^2} = 12 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} h = 0(L)\\ h = - 2\sqrt 3 (L)\\ h = 2\sqrt 3 (N) \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy chiều cao hình nón là 2√3cm.