Cho phương trình \(x^2- (2m + 1)x + m^2 + 1 = 0\), với (m ) là tham số. Tìm tất cả các giá trị m

* Hướng dẫn giải

Ta có \(Δ=(2m+1)^2−4(m^2+1)=4m−3\). Để phương trình có hai nghiệm phân \( \Leftrightarrow {\rm{\Delta }} > 0 \Leftrightarrow m > \frac{3}{4}\)

Theo định lý Viet ta có:

 \(\begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2m + 1\\ {x_1}{x_2} = {m^2} + 1\\ \to P = \frac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}} = \frac{{{m^2} + 1}}{{2m + 1}} = \frac{{2m - 1}}{4} + \frac{5}{{4\left( {2m + 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow 4P = 2m - 1 + \frac{5}{{2m + 1}} \end{array}\)

Do \( m > \frac{3}{4} \to 2m + 1 > 1\)

Để P∈Z thì ta phải có (2m+1) là ước của 5, suy ra 2m+1=5⇔m=2

Thử lại với m=2, ta được P=1 (thỏa mãn).

Vậy m=2 là giá trị cần tìm thỏa mãn bài toán.