Cho đường tròn (O;R) có hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại I ( C thuộc cung nhỏ AB ). Kẻ đường kính BE của (O). Đẳng thức nào sau đây là đúng?

* Hướng dẫn giải

Xét (O) có BE là đường kính và A∈(O) ⇒AE⊥AB mà CD⊥AB ⇒ AE//CD

Nên cung AC bằng cung ED hay AC=ED.

Xét các tam giác vuông ΔIAC và ΔIBD ta có 

\(\begin{array}{l} I{A^2} + I{C^2} = A{C^2};I{B^2} + I{D^2} = B{D^2}\\ \to I{A^2} + I{C^2} + I{B^2} + I{D^2} = A{C^2} + B{D^2} = E{D^2} + B{D^2} \end{array}\)

Mà ΔBED vuông tại D nên \( E{D^2} + B{D^2} = E{B^2} = {(2R)^2} = 4{R^2}\)

Vậy \(I{A^2} + I{C^2} + I{B^2} + I{D^2} =4{R^2}\)