Hãy phân tích đa thức \(f( x ) = x^4- 2mx^2 - x + m^2 - m \) thành tích của hai tam thức bậc hai ẩn x

* Hướng dẫn giải

Ta có 

\( {x^4} - 2m{x^2} - x + {m^2} - m = 0 \Leftrightarrow {m^2} - \left( {2{x^2} + 1} \right)m + {x^4} - x = 0\)

Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn m và có:

\( {{\rm{\Delta }}_m} = {\left( {2{x^2} + 1} \right)^2} - 4\left( {{x^4} - x} \right) = 4{x^2} + 4x + 1 = {\left( {2x + 1} \right)^2} \ge 0\)

Suy ra \(\begin{array}{l} f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{2{x^2} + 1 + 2x + 1}}{2} = {x^2} + x + 1\\ \Leftrightarrow m = \frac{{2{x^2} + 1 - 2x - 1}}{2} = {x^2} - x \end{array}\)

Do đó \( f\left( x \right) = \left( {m - {x^2} - x - 1} \right)\left( {m - {x^2} + x} \right)\)