Một hình trụ có thể tích \(8 m^3\) không đổi. Hỏi bán kính đáy bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hình trụ đó là nhỏ nhất.

* Hướng dẫn giải

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt  là R, h (R > 0; h > 0) 

Ta có 8 = πR²h ⇒ \(h = \frac{8}{{\pi {R^2}}}\)

Diện tích toàn phần của hình trụ:

\({S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 2\pi R.\frac{8}{{\pi {R^2}}} + 2\pi {R^2} = \frac{6}{R} + 2\pi {R^2} = \frac{8}{R} + \frac{8}{R} + 2\pi {R^2}\mathop \ge \limits_{\cos i} 3\sqrt[3]{{\frac{8}{R}.\frac{8}{R}2\pi {R^2}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi 64}} = 12\sqrt[3]{{2\pi }}\)

 Dấu " = " xảy ra ⇔ \(\frac{8}{R} = 2\pi {R^2} \Rightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{4}{\pi }}}\)            

Vậy với \(R = \sqrt[3]{{\frac{4}{\pi }}}\)  thì S_tp đạt giá trị nhỏ nhất là \(12\sqrt[3]{{2\pi }}\)