Cho phương trình \(x^2- mx + m^2- m - 3 = 0\). Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm

* Hướng dẫn giải

Vì độ dài cạnh của tam giác vuông là số dương nên \(x_1,x_2>0.\)

Theo định lý Viet, ta có \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = m > 0\\ {x_1}.{x_2} = {m^2} - m - 3 > 0 \end{array} \right.(1)\)

Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

\( {\rm{\Delta }} = {m^2} - 4\left( {{m^2} - m - 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 3{m^2} - 4m - 12 \le 0\)

Từ giả thiết suy ra \( x_1^2 + x_2^2 = 4 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} = 4\). Do đó:  

\( {m^2} - 2\left( {{m^2} - m - 3} \right) = 4 \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 1 \pm \sqrt 3 \)

Thay m vào (1) và (2) ta thấy chỉ có \(m=1+\sqrt3\) thỏa mãn.

Vậy giá trị cần tìm là \(m=1+\sqrt3\)