Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O) bán kính bằng a. Biết rằng AC vuông góc BD. Khi đó để (AB + CD ) đạt giá trị lớn nhất thì

* Hướng dẫn giải

Vẽ  đường kính CE của đường tròn (O).

Ta có \(\widehat {EAC} = {90^0},{\mkern 1mu} \widehat {EDC} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn đường kính EC ).

Từ đó ta có AE⊥AC. Mặt khác theo giả thiết AC⊥BD.

Kéo theo AE//BD.Vậy AEDB là hình thang.

Do hình thang AEDB nội tiếp (O) nên nói phải là hình thang cân.

Kéo theo AB=DE (các cạnh bên hình thang cân).

Từ đó ta có

\( A{B^2} + C{D^2} = D{E^2} + D{C^2} = E{C^2} = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2}\)

(do ΔEDC vuông tại D)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho \( \left( {A{B^2},B{D^2}} \right)\) ta có

\( A{B^2} + B{D^2} \ge 2AB.CD\)

Kéo theo 

\( {\left( {AB + CD} \right)^2} \le 2\left( {4{a^2}} \right) = 8{a^2} \Rightarrow AB + CD \le 2\sqrt 2 a.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB=CD.

Xét tam giác ΔABI,ΔDCI có:

\( AB = CD,\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

\(\widehat {BAC} = \widehat {DCB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

Do đó ΔABI=ΔDCI(g.c.g.)

Kéo theo AI=ID,IB=IC

Suy ra AC=AI+IC=ID+IB=BD