Đường tròn đi qua 2 đỉnh và tiếp xúc cạnh 1 hình vuông. Tính bán kính R của đường tròn biết cạnh hình vuông là 12 cm.

* Hướng dẫn giải

Giả sử hình tròn đi qua hai đỉnh A, B và tiếp xúc với cạnh CD của hình vuông ABCD.

Ta có hình vẽ:

Gọi \(E\) là điểm tiếp xúc của \(\left( O \right)\) và \(CD.\)

Kéo dài \(EO\) cắt \(AB\) tại \(F \Rightarrow F\) là trung điểm của \(AB.\) 

Gọi \(OF = x\,\,\left( {0 < x < 12} \right).\)

Ta có: \(AF = \dfrac{1}{2}AB = 6\,cm.\)

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho \(\Delta AOF\) vuông tại \(F\) ta có:

\(\begin{array}{l}O{F^2} = O{A^2} - A{F^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = {R^2} - {6^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = {R^2} - 36\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}EF = 12 = OF + OE\\ \Leftrightarrow x + R = 12\\ \Leftrightarrow x = 12 - R.\end{array}\)

Thay \(x = 12 - R\) vào (*) ta được:

\(\begin{array}{l}{\left( {12 - R} \right)^2} = {R^2} - 36\\ \Leftrightarrow 144 - 24R + {R^2} = {R^2} - 36\\ \Leftrightarrow 24R = 180\\ \Leftrightarrow R = \dfrac{{15}}{2} = 7,5\,cm.\end{array}\)

Vậy bán kính đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(R = 7,5\,\,cm.\)