Cho tam giácABC vuông tại A có cạnh AB = 6cm và AC = 8cm. Các phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tại M và N. Tính các đoạn thẳng AM và AN.

* Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý Pitago cho ΔABH vuông tại A có

AB² + AC² = BC²

⇔ BC² = 6² + 8² = 100

⇒ BC = 10 (cm)

Vì BM là tia phân giác trong của góc B ⇒ \(\frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{BC}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{MA}}{{MC + MA}} = \frac{{AB}}{{BC + AB}}\\ \Rightarrow \frac{{MA}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{BC + AB}}\\ \Rightarrow \frac{{MA}}{5} = \frac{6}{{10 + 6}} \Rightarrow MA = 3 \end{array}\)

Vì BM; BN là tia phân giác trong và ngoài của góc B ⇒ ∠NBM = 90^o

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔABM vuông tại B có đường cao BA ta có

⇒ AB² = AM. AN

⇔ 6² = 3.AN

⇔ AN = 12 (cm)