Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N. Tính tỉ số \(\frac...

* Hướng dẫn giải

Ta có OM, ON lần lượt là tia phân giác của AOP, BOP (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau).

Mà AOP kề bù với BOP nên suy ra OM vuông góc với ON.

Vậy ΔMON vuông tại O.

Góc  \(\widehat {APB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên  [Giải bài 37 trang 126 SGK Toán 9 Tập 2 \(\widehat {APB}=90^0\)

Tứ giác AOPM có: \( \widehat {MAO} + \widehat {MPO} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Suy ra, tứ giác AOPM nội tiếp đường tròn.

\( \widehat {MON} = \widehat {APB} = {90^0};\widehat {PMO} = \widehat {PAO}\)

=> Hai tam giác MON và APB đồng dạng

Ta có:  ∆MON và APB đồng dạng với nhau với tỉ số đồng dạng là: \(\begin{array}{l} k = \frac{{MN}}{{AB}}\\ \to \frac{{{S_{MON}}}}{{{S_{APB}}}} = {k^2} = {\left( {\frac{{MN}}{{AB}}} \right)^2} \end{array}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l} k = \frac{{MN}}{{AB}}\\ \to \frac{{{S_{MON}}}}{{{S_{APB}}}} = {k^2} = {\left( {\frac{{MN}}{{AB}}} \right)^2}\\ AM = \frac{R}{2} \to NB = 2R\\ MN = MP + NP = MA + NB = \frac{R}{2} + 2R = \frac{{5R}}{2}\\ \to M{N^2} = \frac{{25{R^2}}}{4} \end{array}\)

Vậy: \( \to \frac{{{S_{MON}}}}{{{S_{APB}}}} = {k^2} = {\left( {\frac{{MN}}{{AB}}} \right)^2} = \frac{{25{R^2}}}{{4{{(2R)}^2}}} = \frac{{25}}{{16}}\)