Đường thẳng xy và đường tròn (O; R) không giao nhau. Gọi M là một điểm di động trên xy. Vẽ đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O) tại A và B. Kẻ (OH vuông góc xy ) . Chọn phươ...

* Hướng dẫn giải

Vì OH⊥xy nên H  là một điểm cố định và OH  không đổi

Gọi giao điểm của AB và OM là E; giao điểm của AB với OH  là F.

Vì (O;R) và đường tròn đường kính OM  cắt nhau tại A;B nên AB⊥OM

Lại có điểm A nằm trên đường tròn đường kính OM nên

\(\widehat {OAM} = {90^ \circ }\)

Xét ΔOEF và ΔOHM có \( \hat O\) chung và  \(\widehat {OEF} = \widehat {OHM} = {90^ \circ }\)nên \(ΔOEF∽ΔOHM(g−g)\)

Suy ra \(\frac{{OE}}{{OH}} = \frac{{OF}}{{OM}} \Rightarrow OE.OM = OF.OH\)

Xét ΔMAO vuông tại A cóAE  là đường cao nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có 

\(\begin{array}{*{20}{l}} {OM.OE = O{A^2}\: = {R^2}}\\ {\: \Rightarrow OF.OH = {R^2}\: \Rightarrow OF = \frac{{{R^2}}}{{OH}}} \end{array}\)

Do OH không đổi nên OF cũng không đổi

Vậy F  là một điểm cố định hay AB  luôn đi qua một điểm cố định là giao của AB và OH.