Cho hình nón có bán kính đáy bằng r và diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. Hãy tính thể tích của hình nón theo r.

* Hướng dẫn giải

Gọi l là đường sinh của hình nón, hh  là chiều cao của hình nón.

Ta có diện tích xung quanh hình nón là \({S_{xq}} = \pi Rl\), diện tích đáy là \(S = \pi {r^2}\)

Vì diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy nên \(\pi rl = 2\pi {r^2} \Rightarrow l = 2r\)

Vì \({r^2} + {h^2} = {l^2} \Rightarrow h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {{{(2r)}^2} - {r^2}} = r\sqrt 3 \)

Khi đó thể tích khối nón là:\(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {r^2}.\sqrt 3 r = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\pi {r^3}\)