Tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Độ dài của các cung AB, BC, CA đều bằng \(4\pi\). Diện tích của tam giác đều ABC là bằng bao nhiêu?

* Hướng dẫn giải

Gọi R là bán kính của đường tròn (O).  Độ dài của các cung AB,BC,CA đều bằng 4π nên ta có \(C=2πR=4π+4π+4π=12π\) , suy ra R=6 hay \(OA=OB=OC=6\)

Ta cũng có \( \widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COA} = {120^0}\)

suy ra \( \Delta AOB = \Delta AOC = \Delta BOC = \frac{1}{3}\Delta ABC\)

Xét tam giác AOC có: 

\({\rm{ }}{\rm{ }}{\rm{ }}{\rm{ }}{\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l} \widehat {OAC} = \widehat {OCA} = {30^0}\\ \widehat {COA} = {120^0} \end{array} \right.\)

Kẻ đường cao OE , ta có đồng thời là đường trung tuyến, phân giác của góc \( \widehat {COA}\)

Ta có: \( \widehat {AOE} = \widehat {COE} = \frac{1}{2}\widehat {AOC}\)

Xét tam giác COE có: \({\rm{ }}{\rm{ }}{\rm{ }}{\rm{ }}{\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l} \widehat {ECO} = {30^0}\\ \widehat {CEO} = {90^0} \end{array} \right. \to OE = \frac{1}{2}CO = \frac{R}{2}\)

Áp dụng định lý Pytago ta có: \( CE = \sqrt {O{C^2} - O{E^2}} = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\frac{R}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}R\)

Vậy \( {S_{COE}} = \frac{1}{2}OE.CE = \frac{1}{2}.\frac{R}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}R = \frac{{\sqrt 3 }}{8}{R^2}\)

Suy ra  \( {S_{COA}} = 2{S_{COE}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{R^2}\) và \( {S_{ABC}} = 3{S_{COA}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}{R^2} = 27\sqrt 3 c{m^2}\)