Với một tam giác đều ABC có cạnh AB = 8cm, đường cao AH. Hãy cho biết thể tích hình cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH.

* Hướng dẫn giải

Vì ΔABC là tam giác đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm O của tam giác.

Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp là \( R = OH = \frac{{AH}}{3}\)

Xét tam giác vuông ABH có \( A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {a^2} - {(\frac{a}{2})^2} = \frac{{3{a^2}}}{4} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Suy ra \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH ta được hình cầu bán kính \( R = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^3} = \frac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{54}}\)