Với tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Biết AH = 4cm, \( \frac{{HB}}{{HC}} = \frac{1}{4}\). Hãy tính chu vi tam giác ABC

* Hướng dẫn giải

Ta có: \( \frac{{HB}}{{HC}} = \frac{1}{4} \Rightarrow HC = 4HB\)

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

\( \Rightarrow A{H^2} = BH.CH \Leftrightarrow {4^2} = 4B{H^2} \Leftrightarrow BH = 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right) \Rightarrow CH = 8(cm)\)

Ta có: \( BC = BH + HC = 2 + 8 = 10(cm)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

\( \Rightarrow AB^2 = BH.BC \Leftrightarrow A{B^2} = 2.10 \Leftrightarrow AB = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 (cm)\)

Áp dụng định lý Pitago cho ΔABH vuông tại A có:

\( A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Leftrightarrow 20 + A{C^2} = 100 \Leftrightarrow A{C^2} = 80 \to AC = \sqrt {80} = 4\sqrt 5 cm\)

Vậy chu vi tam giác ABC là: \( 4\sqrt 5 + 2\sqrt 5 + 10 = 6\sqrt 5 + 10cm.\)