Tìm \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1},\;{x_2}\) sao cho: \(\left( {x_1^2 - 2m{x_1} + 3} \right)\left( {x_2^2 - 2m{x_2} - 2} \right) = 50.\)

* Hướng dẫn giải

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} > 0\\ \Leftrightarrow m - 1 \ne 0\\ \Leftrightarrow m \ne 1.\end{array}\)

Với \(m \ne 1\) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;\;{x_2}.\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1 = 0\\x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1 = 0\end{array} \right..\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = 2m - 1\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(\left( {x_1^2 - 2m{x_1} + 3} \right)\left( {x_2^2 - 2m{x_2} - 2} \right) = 50\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1 - 2m + 4} \right)\left( {x_2^2 - 2m{x_2} + 2m - 1 - 2m - 1} \right) = 50\\ \Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right)\left( { - 2m - 1} \right) = 50\\ \Leftrightarrow \left( {2m - 4} \right)\left( {2m + 1} \right) = 50\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {2m + 1} \right) = 25\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + m - 4m - 2 = 25\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 3m - 27 = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 9m + 6m - 27 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {2m - 9} \right) + 3\left( {2m - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2m - 9} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m - 9 = 0\\m + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{9}{2}\;\;\left( {tm} \right)\\m =  - 3\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(m = \dfrac{9}{2}\) và \(m =  - 3\) thỏa mãn điều kiện bài toán.