Cho phương trình \(x^2 + (a + b + c) x + (ab + bc + ca) = 0\) với (a,b,c ) là ba cạnh của một tam giác.

* Hướng dẫn giải

Phương trình

\(\begin{array}{l} {x^2} + \left( {a + b + c} \right)x + \left( {ab + bc + ca} \right) = 0\\ \to {\rm{\Delta }} = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 4\left( {ab + bc + ca} \right)\\ = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2ac - 2bc = {\left( {a - b} \right)^2} - {c^2} + {\left( {b - c} \right)^2} - {a^2} + {\left( {a - c} \right)^2} - {b^2}\\ = \left( {a - b - c} \right)\left( {a + c - b} \right) + \left( {b - c - a} \right)\left( {a + b - c} \right) + \left( {a - c - b} \right)\left( {a - c + b} \right) \end{array}\)

Mà a,b,c là ba cạnh của tam giác nên \(\left\{ \begin{array}{l} a - b - c < 0\\ b - c - a < 0\\ a - c - b < 0 \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} a + c - b > 0\\ a + b - c > 0 \end{array} \right. \to \Delta < 0\)

Nên Δ<0 với mọi a,b,c 

Hay phương trình luôn vô nghiệm với mọi a,b,c