Hãy lập hệ thức liên hệ giữa \(x_{1} ; x_{2}\) sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

* Hướng dẫn giải

Để phương trình trên có 2 nghiệm \(x_1, x_2\) thì:

\(\left\{\begin{array}{l} m-1 \neq 0 \\ \Delta^{\prime} \geq 0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m \neq 1 \\ m^{2}-(m-1)(m-4) \geq 0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m \neq 1 \\ 5 m-4 \geq 0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m \neq 1 \\ m \geq \frac{4}{5} \end{array}\right.\right.\right.\right.\)

theo hệ thức Viét ta có \(\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=\frac{2 m}{m-1} \\ x_{1} \cdot x_{2}=\frac{m-4}{m-1} \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=2+\frac{2}{m-1}(1) \\ x_{1} \cdot x_{2}=1-\frac{3}{m-1}(2) \end{array}\right.\right.\)

\((1)\Leftrightarrow\frac{2}{m-1}=x_{1}+x_{2}-2 \Leftrightarrow m-1=\frac{2}{x_{1}+x_{2}-2}(3)\)

\((2)\Leftrightarrow \frac{3}{m-1}=1-x_{1} x_{2} \Leftrightarrow m-1=\frac{3}{1-x_{1} x_{2}}(4)\)

Từ (3) và (4) suy ra

\(\frac{2}{x_{1}+x_{2}-2}=\frac{3}{1-x_{1} x_{2}} \Leftrightarrow 2\left(1-x_{1} x_{2}\right)=3\left(x_{1}+x_{2}-2\right) \Leftrightarrow 3\left(x_{1}+x_{2}\right)+2 x_{1} x_{2}-8=0\)

Vậy biểu thức cần tìm là \(3\left(x_{1}+x_{2}\right)+2 x_{1} x_{2}-8=0\)