Với vị trí nào của dây MN thì diện tích tam giác IAB lớn nhất? Hãy cho biết diện tích đó theo bán kính R.

* Hướng dẫn giải

Gọi H là chân đường cao kẻ từ I đến cạnh AB.

Khi đó ta có:

\( {S_{IAB}} = \frac{1}{2}IH.AB\)

Ta có AB là đường kính \(⇒S_{IABMax}⇔IH_{Max}⇔\) H trùng với O.

Khi H trùng với O thì OI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác ⇒ ΔIAB cân tại I.

Lại có \( \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2} \Rightarrow MN\) là đường trung bình của tam giác ΔABC ⇒MN//BC.

Xét ΔMON có MO=ON=MN=R ⇒ ΔMON là tam giác đều.

Tam giác IAB cân tại I có MN là đường trung bình ⇒ M và N lần lượt là trung điểm của AM và AB.

Lại có O là trung điểm của AB ⇒ OM;ON cũng là hai đường trung bình của tam giác IAB.

⇒ \(\left\{ \begin{array}{l} ON//IM\\ OM//IN \end{array} \right.\) 

⇒ tứ giác IMON là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo OI và MN vuông góc với nhau (do  \( MN//AB;OI \bot AB\))

⇒IMON là hình thoi \(⇒MI=IN=OM=R⇒IA=2IM=2R.\)

Xét tam giác AOI vuông tại O ta có: 

\( OI = \sqrt {I{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {4{R^2} - {R^2}} = R\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow {S_{IAB}} = \frac{1}{2}OI.AB = \frac{1}{2}.R\sqrt 3 .2R = {R^2}\sqrt 3 \)