Với tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O,R), gọi H là trực tâm, I và O là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC, đồng thời AH bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam gi...

* Hướng dẫn giải

Gọi D là trung điểm của BC. Suy ra OD⊥BC

Kéo dài OC cắt đường tròn tại điểm G ta có :

\( \widehat {CBG} = {90^0} \Rightarrow BG \bot BC \Rightarrow BG//AH\) \( \Rightarrow OD = \frac{1}{2}BG\) (tính chất đường trung bình).

Ta có: \( \widehat {CAG} = {90^0} \Rightarrow AG \bot AC \Rightarrow AG//BH\) AHBG là hình bình hành \(⇒BG=AH⇒AH=2OD\)

Theo giả thiết \(AH=R⇒R=OB=2OD\)

Tam giác OBD là tam giác vuông có 

\( OB = 2OD \to \widehat {OBD} = {30^0} \to \widehat {BOC} = {120^0} \to \widehat {BAC} = {60^0}\)

H là trực tâm của tam giác ABC \( \Rightarrow CH \bot AB,BH \bot AC \Rightarrow \widehat {BHC} = {120^0}\)

\( \widehat {BIC} = {180^0} - \frac{1}{2}(\widehat {ABC} + \widehat {ACB}) = {180^0} - \frac{1}{2}({180^0} - \widehat {BAC}) = {90^0} + \frac{1}{2}\widehat {BAC} = {120^0}\)

Ta thấy \( \widehat {BOC} = \widehat {BHC} = \widehat {BIC} = {120^0}\) nên ba điểm O, H, I nằm trên cung tròn nhìn về một phía của BC dưới góc 120⁰