Độ dài đoạn AB bằng 30m, khoảng cách từ vị trí cao nhất ở giữa vòm cầu so với sàn mặt cầu là đoạn MK có độ dài 5m. Tính chiều dài vòm cầu.

* Hướng dẫn giải

Giả sử AMB là cung tròn của đường tròn tâm O. Vẽ đường kính MN.

M là điểm chính giữa của cung AB \( \Rightarrow OM \bot AB\) và K là trung điểm của AB

\( \Rightarrow AK = \dfrac{1}{2}AB = 15\,\left( m \right)\).

Ta có \(\widehat {MAN} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \Delta AMN\) vuông tại A.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AMN có:

\(A{K^2} = KM.KN \Leftrightarrow {15^2} = 5.KN \) \(\Leftrightarrow KN = 45\,\,\left( m \right)\)

\( \Rightarrow MN = KM + KN = 5 + 45 = 50\,\,\left( m \right)\)

\( \Rightarrow \) Bán kính đường tròn tâm O là \(R = 25m\).

Xét tam giác vuông ANK có \(\tan \widehat {ANK} = \dfrac{{AK}}{{KN}} = \dfrac{{15}}{{45}} = \dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow \widehat {ANK} = \arctan \dfrac{1}{3}\)

\( \Rightarrow \widehat {AOK} = 2\widehat {ANK} = 2\arctan \dfrac{1}{3}\) (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AM).

Xét tam giác OAB có \(OA = OB \Rightarrow \Delta OAB\) cân tại O \( \Rightarrow \) Đường cao OK đồng thời là phân giác

\( \Rightarrow \widehat {AOB} = 2\widehat {AOK} = 4\arctan \dfrac{1}{3} \approx 73,{7^0}\)

Vậy độ dài cung AMB là \(l = \dfrac{{\pi .R.{n^0}}}{{{{180}^0}}} = \dfrac{{\pi .25.73,7}}{{180}} \approx 32,18\,\,\left( m \right)\).